Funktionsterm in scheitelpunktform
In diesem Video schauen wir uns die Umformung einer Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform an. Die Scheitelpunktform hat nämlich einen wichtigen Vorteil.Scheitelpunkt und Scheitelpunktform
Neben der Allgemeinform liefert es noch eine weitere wichtige Form einer quadratischen Funktion, und zwar die Scheitelpunktform.
Dabei müssen man wissen, dass jede Parabel einen Hochpunkt bzw. einen Tiefpunkt hat. Der Hochpunkt ist der höchste Punkt der Parabel. Der Tiefpunkt ist der tiefste Punkte der Parabel.
Welcher Punkt vorliegt, kann man übrigens direkt am Vorzeichen des ersten Koeffizienten erkennen, also am . Denn wenn ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Sie geht also „unendlich“ weit nach oben. Für ist die Kurve nach unten geöffnet. Sie geht „unendlich“ weit nach unten.
Diese besonderen Punkte haben auch eine besondere Bezeichnung, wir nennen sie „Scheitelpunkte“. Hat man nun die Scheitelpunktform vorzuliegen, so kann man den Scheitelpunkt direkt an dieser ablesen. Diese lautet:
→ der Scheitelpunkt lautet
Nehmen wir uns als Beispiel die quadratische Funktion mit die Gleichung . Hier können wir den Scheitelpunkt direkt mit ablesen. Wir müssen darauf, dass wir beim ein Minus vor dem zu stehen haben und dass wir demnach das richtige Vorzeichen bei auswählen.
Abbildung der Beispielfunktion (eine verschobene, gestreckte Parabel):
Die Funktionsgleichung lautet . Wir können den Scheitelpunkt ablesen mit .
Bewege den Scheitelpunkt und stelle den Formfaktor (Stauchung/Streckung) in der folgenden Grafik ein. Erkenne dabei den Zusammenhang zwischen Achsen des Scheitelpunkts und der Funktionsgleichung in Scheitelpunktform:
Beachtet, dass die Variable bei nicht wie bei den linearen Funktionen den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt, sondern die y-Koordinate des Scheitelpunktes . Damit wir nichts verwechselen, empfehlen wir die Schreibweise mittels
Umwandlungen Allgemeinform ↔ Scheitelpunktform
Um von der Allgemeinform einer quadratischen Funktion auf die Scheitelform zu kommen, verwendet man die quadratische Ergänzung. Allgemein:
Um von der Scheitelpunktform auf die Allgemeinform zu kommen, multiplizieren wir einfach mit Hilfe die binomischen Formeln aus und fassen zusammen. Allgemein:
Beispiel: